Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=30°，AB=2，AD=

3

，E是SC的中点．
（Ⅰ）求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AD⊥SB；
（Ⅲ）若SD=2，求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，由E为SC的中点，知SA∥EF，由此能够证明SA∥平面BDE．
（Ⅱ）由AB=2，AD=

3

，∠BAD=30°，利用余弦定理得BD=1，由AD²+BD²=AB²，知AD⊥BD．由此能够证明AD⊥SB．
（Ⅲ）以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答：（I）证明：连接AC交BD于F，连接EF，
由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，
又E为SC的中点，所以SA∥EF，
∵SA?平面BDE，EF?平面BDE，
∴SA∥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）证明：由AB=2，AD=

3

，∠BAD=30°，
及余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=1，
∵AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SB?平面SBD，
∴AD⊥SB．…（8分）
（Ⅲ）解：∵SD⊥底面ABCD，AD⊥BD，∴以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SD=2，∠BAD=30°，AB=2，AD=

3

，E是SC的中点．
∴B（0，1，0），C（-

3

，2，0），D（0，0，0），E（-

3

2

，

1

2

，1），
∴

DB

=(0，1，0)，

DE

=（-

3

2

，

1

2

，1），
设平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
∴

y=0 - 3 2 x+ 1 2 y+z=0

，解得

n

=（2，0，

3

），
∵平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
∴二面角E-BD-C的余弦值为cos＜

m

，

n

＞=

3

5 ×1

=

15

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．