Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x²+y²=9相切于点N，M为线段PF的中点，O 为坐标原点，则|MN|-|MO|=1．

Answer 1

分析 利用中位线定理可知丨OM丨=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨，根据勾股定理求得丨MN丨=丨MF丨-丨NF丨=丨MF丨-2，丨MF丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，则利用双曲线的定义，即可求出|MN|-|MO|．

解答 解：由题意可知：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦点在x轴上，a=3，b=2，c=$\sqrt{13}$，
设双曲线的右焦点F₁（$\sqrt{13}$，0），左焦点F（-$\sqrt{13}$，0），
由OM为△PFF₁中位线，则丨OM丨=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨，
由PF与圆x²+y²=9相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨²=丨OF丨²-丨ON丨²=13-9=4，
则丨NF丨=2，
∴丨MN丨=丨MF丨-丨NF丨=丨MF丨-2，
由丨MF丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，
∴|MN|-|MO|=$\frac{1}{2}$丨PF丨-2-$\frac{1}{2}$丨PF₁丨=$\frac{1}{2}$（丨PF丨-丨PF₁丨）-2=$\frac{1}{2}$×2a-2=1，
∴|MN|-|MO|=1，
故答案为：1．

点评 本题考查双曲线的定义，考查勾股定理，中位线定理的应用，考查计算能力，属于中档题．