题目内容
【题目】某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC, 
百米， 
百米，广场入口P在AB上，且
，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN（小路的宽度不计），点M,N分别在边AD,BC上（包含端点），
区域拟建为跳舞健身广场， 
区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设
.
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化，PM小路的美化费用为每百米1万元，PN小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化总费用最低，并求出最小费用.
【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为
平方百米;(2) 
时总美化费用最低为4万元.
【解析】试题分析：（1）先求得
,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得
， 
总美化费用为
，再利用导数工具求得正解.
试题解析：（1）在
中， 
，得
，
所以
由
,
在
中， 
，得
，
所以
所以绿化草坪面积
又因为
当且当
，即
。此时
所以绿化草坪面积的最大值为
平方百米.
（2）方法一：在
中， 
，得
，
由
,
在
中， 
，得
，
所以总美化费用为
令
得
列表如下
|
|
|
|
|
|
| - | 0 | - | ||
|
| 单调递减 |
| 单调递增 |
|
所以当
时，即
时总美化费用最低为4万元。
方法二：在
中， 
，得
，
由
,
在
中， 
，得
，
所以总美化费用为
令
得
所以
， 
所以
在
上是单调递减
所以当
， 
时，即
时总美化费用最低为4万元。
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