题目内容
【题目】设数列
的前
项和为
，且对任意正整数
，满足
．
（1）求数列的通项公式．
（2）设
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
试题分析：（1）由
当
时，
，两式相减得
．又当
时，
是以首项
，公比
的等比数列的通项公式为；（2）由（1）知，
．
试题解析： （1）因为，
所以，当时，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
两式相减得
，即
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又当时，，即
．．．．．．．．．．4分
所以是以首项，公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由（1）知，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则，①
，②．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②-①得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以，数列
的前
项和为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【题目】已知随机变量
的取值为不大于
的非负整数值，它的分布列为：
| 0 | 1 | 2 |
| n |
|
|
|
|
|
|
其中
（
）满足： 
，且
．
定义由
生成的函数
，令
．
（I）若由
生成的函数
，求
的值；
（II）求证：随机变量
的数学期望
， 
的方差
；
（
）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量
表示两次掷出的点数之和，此时由
生成的函数记为
，求
的值．
【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过
的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有
的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
平均车数超过
| 平均车速不超过
| 合计 | |
男性驾驶员人数 | |||
女性驾驶员人数 | |||
合计 |
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为
，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.150 | 0．100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
