题目内容
已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
，sin（α+β）=
，则此椭圆的离心率可以为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、
|
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由已知条件可得，sinα，cos（α+β），sinβ，在△PF1F2中由正弦定理可得出|PF1|，|PF2|的关系，若设|PF1|=m，|PF2|=n，则可得到m，n的关系，根据椭圆的定义m+n=2a，所以可用a表示m，n．而根据余弦定理即可得到a，c的关系，这样既可得到关于离心率e的方程，解方程即得离心率的值．
解答：
解：∵cosα=
，sin（α+β）=
；
∴sinα=
，cos（α+β）=±
；
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=
•
+
•
=
，或
•
-
•
＜0（舍去）；
设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理得：
=
；
∴m=
•n=
•n=
；
∵m+n=2a；
∴m=
，n=
；
∴由余弦定理得：(
)2=(
)2+4c2-
•
；
整理得：21e2-
e+1=0；
解得e=
，或
．
故选D．
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴sinα=
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=
| 3 |
| 5 |
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
11
| ||
| 25 |
| 3 |
| 5 |
| ||
| 5 |
| 4 |
| 5 |
2
| ||
| 5 |
设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理得：
| m |
| sinβ |
| n |
| sinα |
∴m=
| sinβ |
| sinα |
| ||||
|
| 11n |
| 10 |
∵m+n=2a；
∴m=
| 22a |
| 21 |
| 20a |
| 21 |
∴由余弦定理得：(
| 20a |
| 21 |
| 22a |
| 21 |
| 88ac |
| 21 |
| ||
| 5 |
整理得：21e2-
22
| ||
| 5 |
解得e=
| ||
| 7 |
| ||
| 15 |
故选D．
点评：考查两角差的正弦公式，以及正弦定理，余弦定理，椭圆的标准方程，椭圆的定义，椭圆离心率的概念．
练习册系列答案
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抛物线y2=2px上不同两点A，B（异于原点O）若OA，OB所在直线斜率之和定值m（m≠0）则直线AB必经过（ ）
A、（0，
| ||
B、（0，
| ||
C、（-
| ||
D、（-
|
设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
在椭圆
+
=1（a＞b＞0）中，F1、F2分别是其左右焦点，若椭圆上存在点P使得|PF1|-2|PF2|=a，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、（
| ||
B、（0，
| ||
C、[
| ||
D、[
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