Question

20．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，记T_n=b₁²b₃²…b_2n-1²，求证：T_n≥$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得a_n²+a_n=2S_n，a_n-1²+a_n-1=2S_n-1，两式相减化简后得到a_n-a_n-1=1，继而得到数列{a_n}是以为首项以1为公差的等差数列，求出通项公式即可，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，数列{b_n}是递增数列，利用放缩法即可证明．

解答 解：（1）∵a_n²+a_n=2S_n，
∴a_n-1²+a_n-1=2S_n-1，
∴a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1=2a_n，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-1=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∵n=1时
∴a₁²+a₁=2S₁=2a₁，
解得a₁=1，
∴数列{a_n}是以为首项以1为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（2）∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴数列{b_n}是递增数列，
∴b_2n＞b_2n-1，
∴b_2nb_2n-1＞（b_2n-1）²，
∴T_n=b₁²b₃²…b_2n-1²≥b₁b₁b₂b₃b₄…b_2n=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-2}{2n-1}$×$\frac{2n-1}{2n}$=$\frac{1}{4n}$，当n=1时取等号，
∴T_n≥$\frac{1}{4n}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“放缩”法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题