Question

【题目】如图，已知圆的半径为，,是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系。

（Ⅰ）若点的轨迹为曲线，求曲线的方程；

（Ⅱ）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与曲线交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据中垂线性质得出：，从而知点轨迹是椭圆，由椭圆标准方程可得．

（Ⅱ）当切线斜率不存在时，可得两圆，它们的交点为原点，接着证明其它的圆都过原点即可，即证，也即证，为此可设直线方程为，由直线与圆相切得关系式，设，由直线方程与椭圆方程联立化简可得，计算可得结论．

（Ⅰ）因为是线段中垂线上的点，所以

所以：

所以：点的轨迹是以为焦点的椭圆

于是：，于是

所以：曲线的方程是

（Ⅱ）当直线斜率不存在时，

取,则,此时圆的方程是

取，则，此时圆的方程是

两圆相交于原点，下面证明原点满足题目条件，即证：

当直线斜率不存在时，设直线方程为

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即①

由可得：

设，则

于是：

所以：

将①代入可得：

综上所述：以为直径的圆经过定点