Question

已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．

Answer 1

（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等．）
解：（1）因为，所以，所以．   1分
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，所以．3分
故双曲线离心率的取值范围为．                      4分
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．   5分
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，                 6分
所以联立方程组                  7分
消去，，即得直线的方程为．                  8分
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．                5分

整理得．
因为，所以．                       6分
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以．                           7分
所以直线方程为．
即．
所以直线的方程为．                        8分
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．                5分
整理得．
因为，所以．  6分
这说明点在直线上．    7分
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．  8分
（3）由（2）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．              10分
以下给出求三角形的面积的三种方法：
方法1：因为点在双曲线上，
所以，即．
设，
所以．                                 11分
因为，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．              12分
当，即时，，             13分
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．   14分
方法2：设，则．                11分
因为点在双曲线上，即，即．
所以．
令，则．
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．             12分
当，即时，，              13分
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．   14分
方法3：设，则．             11分
因为点在双曲线上，即，即．
所以．
令，
所以在上单调递增，在上单调递减．            12分
因为，所以，
当，即时，，此时．
13分
当，即时，，此时．
综上可知，当时，；当时，．   14分

略