题目内容
1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1=1，S2=2，当n≥2时，Sn+1-Sn-1=2n．（1）求证：an+2-an=2n（n∈N*）；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）通过Sn+1-Sn-1=2n与Sn+2-Sn=2n+1作差即得结论；
（2）通过Sn+1-Sn-1=2n可知an+1+an=2n（n∈N*），对其变形可知an+1-$\frac{1}{3}$•2n+1=-（an-$\frac{1}{3}$•2n），进而数列{an-$\frac{1}{3}$•2n}是以$\frac{1}{3}$为首项、-1为公比的等比数列，进而计算可得结论．
解答 （1）证明：∵Sn+1-Sn-1=2n，
∴Sn+2-Sn=2n+1，
两式相减得：an+2-an=2n（n∈N*）；
（2）解：∵Sn+1-Sn-1=2n，
∴an+1+an=2n（n∈N*），
∴an+1-$\frac{1}{3}$•2n+1=-（an-$\frac{1}{3}$•2n），
又∵a1-$\frac{1}{3}•$2=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{an-$\frac{1}{3}$•2n}是以$\frac{1}{3}$为首项、-1为公比的等比数列，
∴an-$\frac{1}{3}$•2n=$\frac{1}{3}$•（-1）n-1，
∴an=$\frac{1}{3}$•2n+$\frac{1}{3}$•（-1）n-1=$\frac{1}{3}$•[2n-（-1）n]．
点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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