Question

S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=

π

2

，M，N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为（　　）

• A．

  10

  5

• B．

  15

  5

• C．

  10

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ，则NQ和SM平行，∠QNB（或其补角）即为SM和BN所成的角，利用余弦定理可得结论．

解答：解：连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ
则NQ和SM平行，∠QNB（或其补角）即为SM和BN所成的角．
设SA=SB=SC=a，则AB=BC=CA=

2

a
因为∠ASB=∠BSC=∠CSA=

π

2

，△ABC是正三角形，M、N、Q是中点
所以：NQ=

1

2

SM=

2

4

a，MC=

6

2

a，QB=

14

4

a，NB=

5

2

a
∴cos∠QNB=

QN2+BN2-BQ2

2QN•BN

=

10

5

∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为

10

5

故选A．

点评：本题考查线线角，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确作出线线角是关键．