Question

求证：当x＞0时，ln(1+x)＞x-

x2

2

．

Answer 1

分析：先利用思想设f(x)=ln(1+x)-(x-

x2

2

)求其导数，因为x＞0，所以f'（x）＞o，得出f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而有f（x）＞f（0）=0即可证明得结论．

解答：证明：设f(x)=ln(1+x)-(x-

x2

2

)，…（2分）
则f′(x)=

1

1+x

-(1-x)=

x2

1+x

…（6分）
因为x＞0，所以f'（x）＞o，即   f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以f（x）＞f（0）=0          …（8分）
即ln(1+x)-(x-

x2

2

)＞0
所以ln(1+x)＞(x-

x2

2

)＞0…（10分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数的应用、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．