Question

设函数f（x）=x²-a．
（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）在区间[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，记曲线y=f（x）在点P（x₁，f（x₁））（）处的切线为l，l与x轴交于点A（x₂，0），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值；研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．
（II）欲判别x₁和x₂的大小，只须先求出其斜率的值，再利用导数求出在x=x₁处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，令y=0求得x₂，作差与0比较即得．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=x³-ax，g′（x）=3x²-a，（2分）
当a≤0时，g（x）为R上的增函数，
所以g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；（4分）
当a＞0时，g′（x）的变化情况如下表：
所以，函数g（x）在，上单调递增，在上单调递减．（6分）
当，即0＜a＜3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（7分）
当，即a≥3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（1）=1-a．（8分）
综上，当a≤0时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；当0＜a＜3时，g（x）的最小值为；当a≥3时，g（x）的最小值为1-a．
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在点P（x₁，f（x₁））（）处的切线方程为y-（x₁²-a）=2x₁（x-x₁），
令y=0，得，（10分）
所以，因为，所以，x₂＜x₁．（11分）
因为，所以，
所以，（13分）
所以．（14分）
点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．