题目内容
设函数f（x）=x2-a．（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）在区间[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，记曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））（x1＞
| a |
| a |
分析：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值；研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．
（II）欲判别x1和x2的大小，只须先求出其斜率的值，再利用导数求出在x=x1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，令y=0求得x2，作差与0比较即得．
（II）欲判别x1和x2的大小，只须先求出其斜率的值，再利用导数求出在x=x1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，令y=0求得x2，作差与0比较即得．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=x3-ax，g′（x）=3x2-a，（2分）
当a≤0时，g（x）为R上的增函数，
所以g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；（4分）
当a＞0时，g′（x）的变化情况如下表：
所以，函数g（x）在(-∞，-
)，(
，+∞)上单调递增，在(-
，
)上单调递减．（6分）
当
＜1，即0＜a＜3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g(
)=-
；（7分）
当
≥1，即a≥3时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（1）=1-a．（8分）
综上，当a≤0时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；当0＜a＜3时，g（x）的最小值为-
；当a≥3时，g（x）的最小值为1-a．
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））（x1＞
）处的切线方程为y-（x12-a）=2x1（x-x1），
令y=0，得x2=
，（10分）
所以x2-x1=
，因为x1＞
，所以
＜0，x2＜x1．（11分）
因为x1＞
，所以
≠
，
所以x2=
=
+
＞
，（13分）
所以x1＞x2＞
．（14分）
当a≤0时，g（x）为R上的增函数，
所以g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；（4分）
当a＞0时，g′（x）的变化情况如下表：
所以，函数g（x）在(-∞，-
|
|
|
|
当
|
|
| 2a |
| 9 |
| 3a |
当
|
综上，当a≤0时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为g（0）=0；当0＜a＜3时，g（x）的最小值为-
| 2a |
| 9 |
| 3a |
（Ⅱ）证明：曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））（x1＞
| a |
令y=0，得x2=
| ||
| 2x1 |
所以x2-x1=
a-
| ||
| 2x1 |
| a |
a-
| ||
| 2x1 |
因为x1＞
| a |
| x1 |
| 2 |
| a |
| 2x1 |
所以x2=
| ||
| 2x1 |
| x1 |
| 2 |
| a |
| 2x1 |
| a |
所以x1＞x2＞
| a |
点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．
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