Question

设A是数集，且满足条件：若a∈A，a≠1，则．求证：

　　(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．

　　(2)集合A不可能是单元素集．

　　(3)集合A中至少有三个不同元素．

Answer 1

答案：
解析：

证明：所考知识点是集合中元素的性质．由a∈A，a≠1，则∈A． 　　(1)若2∈A，则=-1∈A，于是∈A，故集合A中还有-1、两个元素． 　　(2)若A为单元素集，则a= 　　即方程a2-a+1=0无实数解，∴　a≠ 　　∴　a与都为集合A的元素，则A不是单元素集． 　　(3)由已知，a∈A 　　现只需证明：a、、三数互不相等． 　　若，方程无解． 　　∴　a≠， 　　若，方程无解 　　∴　a≠， 　　若，方程无解． 　　∴　，故集合A中至少有三个元素． 　　说明：解此题的关键在于会应用集合中元素的互异性．由已知a∈A，则，即，即a∈A，这样循环反复．因此说明a、、互不相等．