Question

16．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且$\frac{DE}{DP}$=$\frac{CF}{CA}$=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）当λ=$\frac{1}{2}$时，求证：AD⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥E-FAD的体积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当λ=$\frac{1}{2}$时，E、F分别为PD、AC的中点，取AD中点H，连接EH、FH，则：EH∥PA，证明AD⊥面EFH．由此能证明AD⊥EF；
（Ⅱ）在平面PAD内作EH⊥AD于H，则EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．S_△FAD=$\frac{1-λ}{2}$，由此能求出三棱锥E-FAD体积最大值．

解答 （Ⅰ）证明：当λ=$\frac{1}{2}$时，E、F分别为PD、AC的中点，
取AD中点H，连接EH、FH，则：EH∥PA
而PA⊥底面ABCD，
∴EH⊥平面ADC，且AD?面ABCD
∴EH⊥AD…?…（2分）
又FH∥CD且ABCD为正方形
∴FH⊥AD …?…（4分）
∵EH∩FH=H，
∴AD⊥面EFH
而EF?面EFH
∴AD⊥EF；                …（6分）
（Ⅱ）解：在平面PAD内作EH⊥AD于H，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．
因为$\frac{DE}{DP}$=λ（0＜λ＜1），所以$\frac{EH}{PA}$=λ，EH=λPA=λ．
∵$\frac{{S}_{△FAD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AF}{AC}$=1-λ，∴S_△FAD=$\frac{1-λ}{2}$           …（10分）
∴V_E-FAD=$\frac{1}{3}λ•\frac{1-λ}{2}$=$\frac{λ-{λ}^{2}}{6}$（0＜λ＜1）
∴三棱锥E-FAD的体积的最大值为$\frac{1}{24}$．…（13分）

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查学生分析解决问题的能力，注意空间思维能力的培养．