Question

11．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AC•BC=AD•AE；
（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；
（Ⅱ）证明△AFC∽△CFB，即可求AC的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接BE，
∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ADC=∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，
∴△ADC∽△ABE．
∴AC：AE=AD：AB，
∴AC•AB=AD•AE，
又AB=BC…（4分）
故AC•BC=AD•AE…（5分）
（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC²=FA•FB…（6分）
又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF-AF=5…（7分）
∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…（8分）
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AC}{CB}$…（9分）
∴$AC=\frac{10}{3}$…（10分）

点评 此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．