题目内容

已知双曲线 $数学公式$ ，两焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，且△ABF₁内切原的半径为a，则此双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：欲求双曲线的离心率，只须建立a，c的关系式即可，由双曲线的定义得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，从而△ABF₁周长为：2|AB|+4a，利用△ABF₁内切圆的半径为a，得到△ABF₁面积为：S= $\text{[math]}$ （|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S= $\text{[math]}$ |AB|×2c，由面积相等即可建立a，c的关系，即可求得此双曲线的离心率．
解答：由双曲线的定义得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a两式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2× $\text{[math]}$ ，
∴△ABF₁周长为：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4× $\text{[math]}$ +4a，
∵△ABF₁内切圆的半径为a，
∴△ABF₁面积为：S= $\text{[math]}$ （|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S= $\text{[math]}$ |AB|×2c，
∴ $\text{[math]}$ （4× $\text{[math]}$ +4a）×a= $\text{[math]}$ |AB|×2c
即c²-a²=ac
解得：e= $\text{[math]}$
则此双曲线的离心率为 $\text{[math]}$
故选C．
点评：本题考查双曲线的离心率和三角形内切圆的性质，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，注意应用三角形面积的不同计算方法建立关于a，b，c的等式求离心率．