Question

在一个半径为2的半圆上截取一个矩形，则矩形的最大面积为

8

．

Answer 1

分析：设矩形的边AB在半圆直径上，则圆心O在AB的中点，取CD中点E，连接OC、OE，设∠EOC=θ，利用直角三角形中三角函数的定义，可得矩形的两边长分别为2Rsinθ和Rcosθ，因此矩形的面积为S=2R²sinθcosθ，代入题中数据再结合二倍角正弦公式的逆用，可得矩形面积的最大值．

解答：解：设矩形的边AB在半圆直径上，则圆心O在AB的中点，取CD中点E，连接OC、OE，设∠EOC=θ，
则在Rt△OCE中，OC=2，sinθ=

EC

OC

=

1 2 CD

2

=

CD

4

，cosθ=

OE

OC

=

BC

2

∴CD=4sinθ，BC=2cosθ
∴矩形ABCD的面积为S=CD×BC=4sinθ•2cosθ=8sinθcosθ，
∵sin2θ=2sinθcosθ
∴S=4sin2θ
∵sin2θ≤1，且2θ=90°时等号成立
∴当θ=45°时，S_max=4，
故答案为：4．

点评：本题考查了三角函数的定义与二倍角公式，以及在实际问题中建立三角函数模型解决应用题的能力，属于中档题．