题目内容
【题目】已知函数
， 
是函数
的极值点.
（1）若
，求函数
的最小值；
（2）若
不是单调函数，且无最小值，证明： 
.
【答案】（1）
的最小值为
；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）
在区间
单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
；（2）
，方程
（
），
不是单调函数，且无最小值，则方程
必有
个不相等的正根， 
是极大值点， 
是极小值点， 
，只需证明
。
试题解析：
（1）解： 
，其定义域是
.
.
令
，得
所以， 
在区间
单调递减，在
上单调递增.
所以
的最小值为
.
（2）解：函数
的定义域是
对
求导数，得
显然，方程
（
）
设
不是单调函数，且无最小值，则方程
必有
个不相等的正根，所以
解得
设方程
的
个不相等的正根是
， 
，其中
所以
列表分析如下：
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所以， 
是极大值点， 
是极小值点， 
故只需证明
，由
，且
得
因为
， 
，所以
从而
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