Question

若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3- 5

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  2 -1

  2

Answer 1

分析：根据题意，椭圆的右顶点与上顶点确定的直线到椭圆的中心O的距离等于半焦距，因此求出该直线方程，利用点到直线的距离公式建立关于a、b、c的等式，结合b²=a²-c²化简整理出关于离心率e的方程，解之可得答案．

解答：解：根据题意，设椭圆的四个顶点构成的菱形为ABCD，
设点A（a，0），B（0，b），可得直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0
∵菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，
∴原点O到直线AB的距离等于半焦距，即

|-ab|

b2+a2

=c，
两边平方，整理得a²b²=c²（a²+b²）．
∵b²=a²-c²，
∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），化简得a⁴-3a²c²+c⁴=0，
两边都除以a⁴，得(

c

a

)4-3(

c

a

)2+1=0，即e⁴-3e²+1=0
解之得e²=

3± 5

2

，
∵0＜e＜1，∴e²=

3- 5

2

=(

5 -1

2

)2，可得e=

5 -1

2

．
故选：B．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求它的离心率．着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式和椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．