题目内容

我们称离心率e=
5
-1
2
的椭圆叫做“黄金椭圆”,若
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
为黄金椭圆,以下四个命题:
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
其中正确命题的序号为
(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)
分析:(1)利用椭圆的离心率及参数a、b、c的关系即可判断出;
(20利用两点间的距离公式及(1)的距离即可得出;
(3)把x=±c代入椭圆方程即可得出四个交点的坐标,进而判断出答案;
(4)利用“差点法”及斜率计算公式即可得出.
解答:解:(1)∵离心率e=
5
-1
2
=
c
a
,不妨设a=2,c=
5
-1
,则b2=a2-c2=2
5
-2
=ac,∴长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列,故正确;
(2)取A(a,0),B(0,b),焦点F(-c,0),而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2,|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2
∴|BF|2+|BA|2=|AF|2,∴AB⊥BF,∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形,故正确;
(3)把x=c代入椭圆方程得
c2
a2
+
y2
b2
=1
,解得y=±
b2
a
=±c.故正确.
(4)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0),
x
2
1
a2
+
y
2
1
b2
=1
x
2
2
a2
+
y
2
2
b2
=1
,将两式相减得
x
2
1
-
x
2
2
a2
+
y
2
1
-
y
2
2
b2
=0
,∴
x0
a2
+
y0kPQ
b2
=0,又kOM=
y0
x0
,∴kPQkOM=-
b2
a2
,为定值.
综上可知:(1)(2)(3)(4)都正确.
故答案为:(1)(2)(3)(4).
点评:熟练掌握椭圆的离心率及参数a、b、c的关系、两点间的距离公式、正方形的定义、“差点法”及斜率计算公式是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网