题目内容
我们称离心率e=
的椭圆叫做“黄金椭圆”,若
+
=1(a>0,b>0)为黄金椭圆,以下四个命题:
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
其中正确命题的序号为
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
其中正确命题的序号为
(1)(2)(3)(4)
(1)(2)(3)(4)
.分析:(1)利用椭圆的离心率及参数a、b、c的关系即可判断出;
(20利用两点间的距离公式及(1)的距离即可得出;
(3)把x=±c代入椭圆方程即可得出四个交点的坐标,进而判断出答案;
(4)利用“差点法”及斜率计算公式即可得出.
(20利用两点间的距离公式及(1)的距离即可得出;
(3)把x=±c代入椭圆方程即可得出四个交点的坐标,进而判断出答案;
(4)利用“差点法”及斜率计算公式即可得出.
解答:解:(1)∵离心率e=
=
,不妨设a=2,c=
-1,则b2=a2-c2=2
-2=ac,∴长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列,故正确;
(2)取A(a,0),B(0,b),焦点F(-c,0),而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2,|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2,
∴|BF|2+|BA|2=|AF|2,∴AB⊥BF,∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形,故正确;
(3)把x=c代入椭圆方程得
+
=1,解得y=±
=±c.故正确.
(4)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0),
则
+
=1,
+
=1,将两式相减得
+
=0,∴
+
=0,又kOM=
,∴kPQ•kOM=-
,为定值.
综上可知:(1)(2)(3)(4)都正确.
故答案为:(1)(2)(3)(4).
| ||
2 |
c |
a |
5 |
5 |
(2)取A(a,0),B(0,b),焦点F(-c,0),而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2,|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2,
∴|BF|2+|BA|2=|AF|2,∴AB⊥BF,∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形,故正确;
(3)把x=c代入椭圆方程得
c2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b2 |
a |
(4)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0),
则
| ||
a2 |
| ||
b2 |
| ||
a2 |
| ||
b2 |
| ||||
a2 |
| ||||
b2 |
x0 |
a2 |
y0kPQ |
b2 |
y0 |
x0 |
b2 |
a2 |
综上可知:(1)(2)(3)(4)都正确.
故答案为:(1)(2)(3)(4).
点评:熟练掌握椭圆的离心率及参数a、b、c的关系、两点间的距离公式、正方形的定义、“差点法”及斜率计算公式是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目