题目内容

已知向量 $数学公式$ ，函数f（x）=a•b．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象按向量c=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，且g（x）为偶函数，求正实数m的最小值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（sinx， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（cosx，sin²x- $\text{[math]}$ ），
∴f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =sinxcosx+ $\text{[math]}$ （sin²x- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x
=sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）得：kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，（k∈Z）
f（x）的单调递增区间为：[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
（2）f（x）图象按向量 $\text{[math]}$ =（m，0），得到函数y=g（x）的图象，
则：g（x）=f（x-m）=sin[2（x-m）- $\text{[math]}$ ]=sin（2x-2m- $\text{[math]}$ ），
∵g（x）为偶函数，
∴-2m- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，（k∈Z）
∴当k=-1时，m最小．m_min= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可将f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 化为：f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ），从而利用正弦函数的单调性质即可求得f（x）单调递增区间；
（2）由题意可求得g（x）=f（x-m）=sin（2x-2m- $\text{[math]}$ ），再结合g（x）为偶函数，可得到，-2m- $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，（k∈Z），于是可得正实数m的最小值．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，向量的平移及函数的奇偶性的应用，综合性强，属于中档题．