Question

(本小题满分14分）设椭圆方程 （），为椭圆右焦点，为椭圆在短轴上的一个顶点，的面积为6,（为坐标原点）；
（1）求椭圆方程；
（2）在椭圆上是否存在一点，使的中垂线过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）设
∵为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,
∴.              ----------------------------------------------------------- 1分
又∵          ----------------------------------------------------------2分
∴或         ---------------------------------------------------------4分
∴椭圆方程为或  ---------------------------------------6分
（2）假设存在点，使的中垂线过点.
若椭圆方程为，则，由题意，
∴点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆.
设，则其轨迹方程为     -------------------------------------------8分
显然与椭圆无交点.
即假设不成立，点不存在.              -----------------------------------------------9分
若椭圆方程为，
则，
∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆.
则其轨迹方程为             -----------------------------------------1 1分
则，∴，-------------------------------------------- 13分
故满足题意的点坐标分别为，，，
---- 14分
 

略