Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）设出椭圆长、短半轴长，根据已知条件列方程组，解出即可，注意焦点位置不确定；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直线方程与椭圆方程联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，用韦达定理及弦长公式可得关于m的方程，解出即可；

解答：

解：（Ⅰ）设椭圆C的长半轴长为a（a＞0），短半轴长为b（b＞0），

则2b=4①，②．                                             

联立①②，解得a=4，b=2．                                                     

因为椭圆C的对称轴为坐标轴，

所以椭圆C的方程为标准方程为．       

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由方程组，消去y，

得5x²+2mx+m²﹣16=0，

由题意，得△=（2m）²﹣20（m²﹣16）＞0，

且，

因为=，

所以，解得m=±2，

验证知△＞0成立，

所以直线l的方程为x﹣y+2=0或x﹣y﹣2=0．

点评：

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，考查解析几何中常见公式如：弦长公式、韦达定理的应用，考查学生分析解决问题的能力．