Question

（2012•武汉模拟）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且经过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx-2与椭圆C相交于A，B两点，且

OM

=

1

3

OA

，

ON

=

2

3

OB

，若原点O在以MN为直径的圆外，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意设出椭圆的方程，根据离心率的值以及椭圆经过点(1，

3

2

)，待定系数法求出椭圆的方程；
（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，结合向量条件，原点O在以MN为直径的圆外，可得∠MON为锐角，从而∠AOB为锐角，利用向量的数量积，即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）依题意，可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，即a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²，
∵椭圆经过点(1，

3

2

)，∴

1

4c2

+

9 4

3c2

=1
解得c²=1
∴a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
 由

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞

1

4

，
由韦达定理 x₁ +x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，
∵原点O在以MN为直径的圆外，∴∠MON为锐角
∵

OM

=

1

3

OA

，

ON

=

2

3

OB

∴∠AOB为锐角
∴

OA

•

OB

＞0    
∵

OA

•

OB

═x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
=（k²+1）×

4

4k2+3

-2k×

16k

4k2+3

+4=

-12k2+16

4k2+3

∴

-12k2+16

4k2+3

＞0
∴k2＜

4

3

∵k²＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

4

3

∴k的取值范围为(-

2 3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2 3

3

)

点评：本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，综合性强．