Question

已知正三棱锥P-ABC中，点P，A，B，C都在半径为

3

的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：先将PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，根据球的半径求出对角线长，进而得出正三棱锥P-ABC的侧棱长，从而求出三棱锥P-ABC的体积．

解答：解：∵空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，
则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，
所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，
设PA=PB=PC=a，
∴

3

a=2

3

，∴a=2，
则三棱锥P-ABC的体积为

1

6

a3=

4

3

故选C．

点评：本题是基础题，考查球的内接体知识，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．