Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{na_n}的前n项和为T_n．对任何正整数n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求T_n；
（III）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）先把n=1代入S_n=-a_n+（n-3）求出a₁=-；再利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1得到关于a_n=和a_n-1之间的递推关系式，得到数列为等比数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（II）先将（I）求出a_n的通项代入na_n中表示出T_n，求和时利用错位相减法，化简得到T_n；
（III）先求出S_n，再利用作差的方法求解．
解答：解：（I） 当n=1时，由的，
解得
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-[]
解得 ，即
因此，数列
∴，
即
∴数列．
（II）∵，
∴
令．
则．
上面两式相减：=，即．
∴=…8分            
 （III）∵S_n=-a_n+=，
∴
=…10分
∵当n=2或n=3时，的值最大，最大值为0，
∴A_n-B_n≤0．
因此，当n是正整数时，A_n≤B_n．…12分
点评：此题①考查这种关系，②考查等比数列的一般求法，③数列求和中的错位相减法．