Question

在ABC中，已知内角A=，BC=2，设内角B=x，周长为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据正弦定理，算出AC=4sinx且AB=4sin（-x），由此得到三角形周长关于x的表达式，再利用三角恒等变换的公式进行化简，即可得到函数y=f（x）的解析式和定义域；
（II）由正弦函数的单调增区间的公式解出x的范围，并结合x∈（0，）取交集，即可得到函数y=f（x）的单调递增区间．
解答：解：（Ⅰ）由正弦定理，得
∴AC==4sinx…．（2分）
同理，=，得AB=4sin（-x）…．（4分）
∴y=4sinx+4sin（-x）+2=4sin（x+）+2…．（6分）
所以，函数y=f（x）的解析式为y=4sin（x+）+2，定义域为…．（7分）
（Ⅱ）要求函数的单调递增区间，
则须满足：，…（8分）
即…（10分）
又∵，∴取k=0得
因此，函数y=f（x）的单调递增区间为…（12分）
点评：本题以三角形的周长为载体，求函数函数y=f（x）的解析式、定义域和单调区间．着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．