Question

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）设b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的条件得到

3

2cos2 B 2 -1

=

-2sinB

cos2B

，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简可得tan2B的值，根据B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B即可；
（2）根据求出的B的度数和b等于2，由余弦定理得到一个关于a和c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，利用面积公式表示出三角形的面积，根据ac的最大值即可得到面积的最大值．

解答：解：（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0
即sin2B=-

3

cos2B．即tan2B=-

3

．
又∵B为锐角，∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；

（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得a²+c²-ac-4=0．
又∵a²+c²≥2ac，代入上式得ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立）．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（当且仅当a=c=2时等号成立）．
∴△ABC面积的最大值为

3

．

点评：此题考查学生掌握向量平行时的条件，灵活运用余弦定理和三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．