Question

直线y=x+a与圆x²+y²=4交于点A，B，若

OA

•

OB

=-2（O为坐标原点），则实数a的值为

 

．

Answer 1

分析：方法1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程代入圆的方程得2x²+2ax+a²-4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，
以及两个向量的数量积的坐标运算公式解出实数a的值．
方法2 利用两个向量的数量积的定义求出∠AOB=120°，问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，列方程求a的值．

解答：解：方法1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入圆的方程得2x²+2ax+a²-4=0，
则x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2-4

2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=a²-4-a²+a²=a²-4=-2，
即a²=2，即a=±

2

．
方法2.

OA

•

OB

=-2?2•2cos∠AOB=-2，即∠AOB=120°，
问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，即

|a|

2

=1，故a=±

2

．
故答案为：±

2

点评：本题考查两个向量的数量积的定义和坐标运算公式，一元二次方程根与系数的关系、点到直线的距离公式的应用．