Question

11．已知等差数列{a_n}的公差为2，a₅=10，数列{a_n}前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{S_n}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得a₅=a₁+（5-1）×2=10，所以a₁=2，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+n$，
即a_n=2n，${S_n}={n^2}+n$，（n∈N^*）…（5分）
（Ⅱ）${b_n}=\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以${T_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．…（10分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．