Question

已知函数,其中.
（I）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
（II）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.

Answer 1

（I）的取值范围是；（II）的最大值为；

试题分析：（I）由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
由,得,
因为,所以  3分
令,则,故在区间(1,2)上是增函数,
所以其值域为,从而的取值范围是       5分
（II）,
由题意知对恒成立,
即对恒成立,
即  ①对恒成立   7分
当时,①式显然成立;                                  8分
当时,①式可化为    ②,
令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 
9分
即,其等价于   ③ ,
因为③在时有解,所以,解得.
从而的最大值为           12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、极值，最终确定最值情况。涉及恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到解题目的。