Question

已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，点P(b，

a

2

)在椭圆上，其左、右焦点为F₁、F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若

PF1

•

PF2

=

1

2

，过点S(0，-

1

3

)的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，点P(b，

a

2

)在椭圆上，建立方程，确定几何量的关系，即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）先求椭圆的标准方程，再由特殊情况猜想M（0，1），进而证明一般性的结论成立．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)，点P(b，

a

2

)在椭圆上，
∴

b2

a2

+

a2

4b2

=1，∴a²=2b²，∴c²=a²-b²=b²，
∴e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）∵

PF1

•

PF2

=

1

2

∴（-c-b，-

a

2

）•（c-b，-

a

2

）=

1

2

∴b2-c2+

a2

4

=

1

2

∴a=

2

，b=1
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1；
假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=1①
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

②
由①，②知定点M（0，1）
下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．
设直线l：y=kx-

1

3

，代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²-

4

3

kx-

16

9

=0
设A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=

-16

9(2k2+1)

∵

MA

=(x1，y1-1)，

MB

=(x2，y2-1)
∴

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k（x₁+x₂）+

16

9

=0
∴在x轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，由特殊到一般是解题的关键．