题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF1F2内一点G满足3
=
+
，其中
=(
a，
a)．
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2
，过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若
=2
，求△F1AB面积．
| ||
|
| ||
|
| PG |
| PF1 |
| PF2 |
| OG |
| 1 |
| 9 |
| ||
| 9 |
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若椭圆C短轴长为2
| 3 |
| AF2 |
| F2B |
分析：（I）先确定G是△PF1F2的重心，坐标为(
a，
a)，从而可得P的坐标，利用点P在椭圆C上，即可求得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求出椭圆方程为
+
=1，设直线AB的方程为x=my+1，与
+
=1，利用韦达定理及向量条件，可求得m=±
，进而利用|y1-y2|=
，S=
|y1-y2| |F1F2|，即可求得△F1AB面积．
| 1 |
| 9 |
| ||
| 9 |
（Ⅱ）求出椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
2
| ||
| 5 |
| (y1+y2)2-4y1y2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（I）由
=(
a，
a)，可得G的坐标为(
a，
a)
∵3
=
+
，
∴G是△PF1F2的重心
令P的坐标是（x0，y0），则有
，∴
∵点P在椭圆C上，∴
+
=1
∴3a2=4b2，即4c2=a2，∴e=
；
（Ⅱ）∵椭圆C短轴长为2
，3a2=4b2
∴a=2，b=
，c=1
∴椭圆方程为
+
=1
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
=2
，∴y1=-2y2①
设直线AB的方程为x=my+1，与
+
=1联立，消元整理可得（3m2+4）y2+6my-9=0
∴y1+y2=-
②，y1y2=-
③
由①②③，可得m=±
∴y1+y2=±
，y1y2=-
∴|y1-y2|=
=
∴△F1AB面积S=
|y1-y2| |F1F2|=
×
×2=
| OG |
| 1 |
| 9 |
| ||
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| ||
| 9 |
∵3
| PG |
| PF1 |
| PF2 |
∴G是△PF1F2的重心
令P的坐标是（x0，y0），则有
|
|
∵点P在椭圆C上，∴
| a2 |
| 9a2 |
| 6a2 |
| 9b2 |
∴3a2=4b2，即4c2=a2，∴e=
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）∵椭圆C短轴长为2
| 3 |
∴a=2，b=
| 3 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
| AF2 |
| F2B |
设直线AB的方程为x=my+1，与
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∴y1+y2=-
| 6m |
| 3m2+4 |
| 9 |
| 3m2+4 |
由①②③，可得m=±
2
| ||
| 5 |
∴y1+y2=±
3
| ||
| 8 |
| 45 |
| 32 |
∴|y1-y2|=
| (y1+y2)2-4y1y2 |
| 9 |
| 8 |
| 5 |
∴△F1AB面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
9
| ||
| 8 |
9
| ||
| 8 |
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，属于中档题．
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