Question

定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：把给出的等式变形得到f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在
（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．
解答：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f^′（x）sinx．
即f^′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=x∈（0，），则．
所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，
则，即，所以，
即．
故选D．
点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．