Question

（2006•南汇区二模）如图ABCD为正方形，EF∥AB，且DE：EA=3：4，EF交AC于Q，沿EF将正方形折成直二面角，
（1）求AC与EF所成角的正切值；
（2）求∠AQC的大小．

Answer 1

分析：解法一（1）AC与EF所成角的正切值，就是AC与CD所成角的正切值，利用直角三角形求解即可；
（2）直接利用余弦定理在三角形中求∠AQC的大小．
解法二（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积直接求AC与EF所成角的正切值；
（2）通过向量的数量积直接求∠AQC的大小．

解答：（12分）解法一：（1）不妨设CF=3，BF=4，则CB=5，EF=7，AC与EF所成的角即为∠CAB，易证△ABC为直角三角形，

∴tan∠CAB=

5

7

；…（6分）
（2）CQ=3

2

，AQ=4

2

，AC=

74

，由余弦定理
cos∠AQC=

18+32-74

2•3 2 •4 2

=-

1

2

，∴∠AQC=120°．…（12分）
解法二：（1）设正方形的边长为7．以E为原点，EF为x轴，以EA为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），A（0，4，0），F（7，0，0），C（7，0，3），Q（4，0，0）．
则

AC

=(7，-4，-3)，

EF

=(7，0，0)，

QA

=(-4，4，0)，

QC

=(3，0，3)
设AC与EF所成角为θ，则cosθ=

AC • EF

| AC |•| EF |

=

7

74

∴tanθ=

5

7

…（6分）
（2）cos∠AQC=

QA • QC

| QA •| QC ||

=-

1

2

∴∠AQC=120°．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成角以及三角形角的求法，考查计算能力．