Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，又椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，由椭圆几何条件得，解得， （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求高，根据三角形面积公式得．最后利用基本不等式求最值.

试题解析：解：（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为．

∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，

∴．

又，∴．

由，得．

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设．

联立消去，得．

此时有．

由一元二次方程根与系数的关系，得

， ．

∴．

∵原点到直线的距离，

∴．

由，得．又，∴据基本不等式，得

．

当且仅当时，不等式取等号．

∴面积的最大值为．