Question

 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；

(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁＋y₂的值及直线AB的斜率．

Answer 1

 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px.

∵点P(1,2)在抛物线上，∴2²=2p1，解得p=2.∴所求抛物线的方程是y²=4x，准线方程是x=-1.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.则k_PA=(x₁1)，k_PB=(x₂1)，

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k_PA=-k_PB.由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在抛物线上，得

y₁²=4x₁，①

y₂²=4x₂，②

∴=-，∴y₁+2=-(y₂+2)，∴y₁+y₂=-4.     由①-②得直线AB的斜率为-1