Question

过曲线y=

x+1

x2

上横坐标为1的点P处的一条切线的方程为（　　）

A．2x+y-4=0

B．3x-y-1=0

C．4x-y-2=0

D．x-y+1=0

Answer 1

分析：把x=1代入函数解析式求出P点坐标，设出切点坐标（x₀，y₀），求出f′（x₀），由点斜式得切线方程，把P的坐标代入切线方程求出x₀的值，则切线方程可求，逐一核对四个选择支可得答案．

解答：解：由x=1，得y=

1+1

12

=2，所以曲线上的点P的坐标为（1，2）．
设切点坐标（x₀，y₀），
又y′=

-x-2

x3

，所以y′|x=x0=

-x0-2

x03

．
则过曲线y=

x+1

x2

上横坐标为x₀的点的切线的方程为y-

x0+1

x02

=

-x0-2

x03

（x-x₀）．
代入P点坐标得：2-

x0+1

x02

=-

x0+2

x03

(1-x0)．
解得：x₀=-1或x₀=1
当x₀=-1时，切线方程为：y-

-1+1

(-1)2

=

1-2

(-1)3

(x+1)，即x-y+1=0．
故选D．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，当切点不在曲线上时，需要设出切点坐标，利用切点坐标得到切线方程后代入已知点的坐标求解，是中档题也是易错题．