Question

8．下面几个不等式的证明过程：
①若a、b∈R，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2；
②x∈R且x≠0，则|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；
③若a、b∈R，ab＜0，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=-（-$\frac{b}{a}$+$\frac{-a}{b}$）≤-2$\sqrt{-\frac{b}{a}•\frac{-a}{b}}$=-2．
其中正确的序号是②③．

Answer 1

分析 ①a、b∈R，当ab异号时．$\frac{b}{a}$＜0，$\frac{a}{b}$＜0，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=-（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≤-2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=-2．不成立
②x∈R且x≠0，x＞0时，|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立；x＞0时，|-（x+$\frac{4}{x}}$）|=|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立．
③a、b∈R，ab＜0，ab异号，$\frac{b}{a}$＜0，$\frac{a}{b}$＜0，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=-（-$\frac{b}{a}$+$\frac{-a}{b}$）成立．

解答 解：①a、b∈R，当ab异号时，$\frac{b}{a}$＜0，$\frac{a}{b}$＜0，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=-（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≤-2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$=-2．不成立．a=0或b=0时，$\frac{b}{a}$，$\frac{a}{b}$无意义，故①不对．
②x∈R且x≠0，x＞0时，|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立；
                    x＞0时，|-（x+$\frac{4}{x}}$）|=|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立．故②对．
③a、b∈R，ab＜0，ab异号，$\frac{b}{a}$＜0，$\frac{a}{b}$＜0，
那么$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=-（-$\frac{b}{a}$+$\frac{-a}{b}$））≤-2$\sqrt{-\frac{b}{a}•\frac{-a}{b}}$=-2，成立．故③对．
故答案为：②③

点评 本题考查了基本不等式的性质的运用条件和化简能力．属于基础题．