Question

20．在△ABC中，已知2cos（B-C）+1=4cosBcosC
（1）求角A的大小；
（2）若a=2$\sqrt{7}$，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角函数求值即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）2cos（B-C）+1=4cosBcosC，∴2cosBcosC+2sinBsinC+1=4cosBcosC，
化为：cos（B+C）=-cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
解得A=$\frac{2π}{3}$．
（2）由题意可得：S_△ABC=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$，可得bc=8．
a²=28=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$=（b+c）²-bc，化为：
（b+c）²=36，解得b+c=6．

点评 本题考查了和差公式、三角函数求值、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．