Question

如图，P为菱形ABCD所在平面外一点，M、N 分别为AD、PB 的中点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，∠DAB=60°求证：
（1）MN∥平面PCD
（2）AD⊥PB  
（3）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析：（1）再取PC的中点Q，证明四边形MNQD为平行四边形，可得AM∥DQ，再利用直线和平面平行的判定定理证明 MN∥平面PCD．
（2）由条件可得AN是等腰三角形PAB的底边上的中线，故有AN⊥PB．同理可得，DN⊥PB．利用直线和平面垂直的判定定理可得PB⊥平面AND，从而证得AD⊥PB．
（3）先证得PM⊥平面ABCD，可得PM为三棱锥P-DBC的高线，再根据V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

•S_△BCD•PM，运算求得结果．

解答：解：（1）再取PC的中点Q，∵四边形ABCD为菱形，M、N 分别为AD、PB 的中点，∴MD平行且等于

1

2

BC，NQ平行且等于

1

2

BC，
故MD和NQ平行且相等，故四边形MNQD为平行四边形，故 AM∥DQ．
再由 DQ?平面PCD，AM不在平面 PCD内，可得 MN∥平面PCD．
（2）∵四边形ABCD为菱形，PA=PD=AD=2，∠DAB=60°，∴PA=PD=AD=2=AB=BD=CD，
故AN是等腰三角形PAB的底边上的中线，故有AN⊥PB．
同理可得，DN⊥PB．
由于AN和 DN是平面 AND内的两条相交直线，故有PB⊥平面AND．
而AD?平面AND，∴AD⊥PB．
（3）由于平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，M为AD的中点，故有PM⊥平面ABCD，
故PM为三棱锥P-DBC的高线，且PM=

3

2

AD=

3

，
∴V_D-PBC=V_P-BCD=

1

3

•S_△BCD•PM=

1

3

•（

1

2

•BC•CDsin60°）•PM=

1

3

×（

1

2

×2×2×

3

2

）•

3

=1．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，证明两条直线垂直、以及用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．