Question

如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证PA⊥平面ABCD，只需证明直线PA垂直平面ABCD内的两条相交直线AB、AD即可．
（2）作EG∥PA交AD于G，说明∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角，解三角形求面EAC与面DAC所成的二面角的大小．

解答：解：（I）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，PA²+AB²=2a²=PB²∴∠PAB=90°，即PA⊥AB，
同理，PA⊥AD∵AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD（6分）

（II）解：作EG∥PA交AD于G
∵PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD∴EG⊥AC，
作GH⊥AC于H，连接EH，
∴AC⊥平面EHG，∴EH⊥AC，∴∠EHG是面EAC与面DAC所成二面角的平面角（9分）
∵PE：ED=2：1，∴EG=

1

3

a，AG=

2

3

a
在△AGH中，GH=AG•sin60°=

2

3

a×

3

2

=

3

3

a，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

3

3

，∴∠EHG=

π

6

，
即面EAC与面DAC所成二面角的大小为

π

6

（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．