Question

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞０．

（1）若a₂－a₁=8，a₃=m．

①当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；

②若数列{a_n}是唯一的，求m的值；

（2）若a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－ (a_k＋a_k－1＋…＋a₁ )＝8，k∈N*，

 求a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值．

Answer 1

解：设公比为q，则由题意，得q＞0．

（1）①由a₂－a₁＝8，a₃＝m＝48，得

      解之，得  或

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝8(2－)(3＋)^n-1，或a_n＝8(2＋)(3－)^n-1．

②要使满足条件的数列{a_n}是唯一的，即关于a₁与q的方程组有唯一正数解，即方程8q²－mq＋m＝0有唯一解．

由△＝m²－32m＝0，a₃＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2．

经检验，当m＝32时，数列{a_n}唯一，其通项公式是a_n＝2^n＋2．

（2）由a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－ (a_k＋a_k－1＋…＋a₁ )＝8，

得a₁(q^k－1)(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝8，且q＞1．

       a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k＝a₁q^2k(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)

＝＝≥32，

当且仅当 ，即q＝，a₁＝8(－1)时，

   a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值为32．