Question

【题目】已知函数f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1 ， x2（x1＜x2）．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证： + ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ．

①m≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；

②m＞0，f′（x）＞0可解得x＞2m，f′（x）＜0可解得0＜x＜2m，

∴f（x）在（0，2m）上单调递减，在（2m，+∞）上单调递增，

∴f（x）min=f（2m）= ln2m﹣ ，

由题意， ln2m﹣ ＜0，

∴0＜m＜

（2）证明：令t= ，f（ ）=mt﹣2lnt﹣1=0，

由题意方程m= 有两个根为t1，t2，不妨设t1= ，t2= ．

令h（t）= ，则h′（t）=﹣ ，

令h′（t）＞0，可得0＜t＜ ，函数单调递增；h′（t）＜0，可得t＞ ，函数单调递减．

由题意，t1＞ ＞t2＞0，

要证明 + ＞ ，即证明t1+t2＞ ，即证明h（t1）＜h（ ﹣t2）．

令φ（x）=h（x）﹣h（ ﹣x），

下面证明φ（x）＜0对任意x∈（0， ）恒成立，

φ′（x）= + ，

∵x∈（0， ），

∴﹣lnx﹣1＞0，x2＜ ，

∴φ′（x）＞ ＞0，

∴φ（x）在（0， ）上是增函数，

∴φ（x）＜φ（ ）=0，

∴原不等式成立

【解析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的两个零点，得出 ln2m﹣ ＜0，即可求实数m的取值范围；（2）由题意方程m= 有两个根为t1 ， t2 ， 不妨设t1= ，t2= ，要证明 + ＞ ，即证明t1+t2＞ ，即证明h（t1）＜h（ ﹣t2）．令φ（x）=h（x）﹣h（ ﹣x），证明φ（x）＜0对任意x∈（0， ）恒成立即可．