Question

【题目】如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由ABCD是菱形可得BD⊥AC，

因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，又BD平面PBD，

故平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：以 为x轴的正方向， 为y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，

则O（0，0，0），B（0，1，0）， ， ．

设平面PBD的一个法向量 ，

由 ， ，可得 ，即 ，

所以可取 ．

同理可得平面PBC的一个法向量 ．

所以 ．

故二面角D﹣PB﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．（2）以 为x轴的正方向， 为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．