Question

【题目】函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时， ，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数， ∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），
即f（x）=﹣f（x+2），
则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，
∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称，
则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
此时f（﹣x）= =﹣f（x），则f（x）=﹣ ，x∈[﹣1，0]，
若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，
则f（x）=﹣f（x+2）=﹣ ，x∈[﹣2，﹣1]，
若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，
则f（x）=﹣f（x﹣2）= = ，x∈[1，2]，
作出函数f（x）的图像如图：

由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，
由图像知当x∈[﹣1，0]时，由﹣ =x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，
由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣ ，此时f（x）=x+b有两个交点，
当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）= ，
由 =x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，
由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣ ，此时f（x）=x+b有两个交点，
则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣ ＜b＜﹣ ，
即实数b的取值集合是4n﹣ ＜b＜4n﹣ ，
即4（n﹣1）+ ＜b＜4（n﹣1）+ ，
令k=n﹣1，
则4k+ ＜b＜4k+ ，
故选：D
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．