Question

（2012•道里区二模）为了学生的全面发展，某中学在高一学年是推行“合理作业”（合理作业是指：放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时）活动．高一学年共有学生2000人，其中男生1200人，女生800人，为了调查2012年3月（按30天计算）学生“合理作业”的天数情况，通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本，统计他们在该月30天内“合理作业”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人数；
（2）在抽取的40人中任取3人，设ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人数=

40

2000

×1200，抽取的40人中女生人数=

40

2000

×800，由此能求出结果．
（Ⅱ）由抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人，知ξ的可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ） 抽取的40人中男生人数=

40

2000

×1200=24人；
抽取的40人中女生人数=

40

2000

×800=16人．
∴抽取的40人中男生人数为24人，女生人数为16人．…（4分）
（Ⅱ）∵抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人，
ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
∴P（ξ=0）=

C 3 38

C 3 40

=

4218

4940

，
P（ξ=1）=

C 2 38 C 1 2

C 3 40

=

703

4940

，
P（ξ=2）=

C 1 38 C 2 2

C 3 40

=

19

4940

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	4218 4940	703 4940	19 4940

…（8分）
E（ξ）=0×

4218

4940

+1×

703

4940

+2×

19

4940

=0.15．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意频率分布直方图的合理运用．