Question

双曲线3x²-y²=1与直线ax-y+1=0相交于A、B两点．
（1）求a的取值范围；
（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．

Answer 1

分析：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3-a²）x²-2ax-2=0，利用交于A、B两点，可知判别式大于0，故可求；
（2）因为∠AOB＞90⁰，所以原点在以AB为直径的圆外，先求圆的方程，进而可解．

解答：解：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3-a²）x²-2ax-2=0
△=24-4a²＞0
∴a∈（-

6，

6

)且a≠±

3

…（4分）
（2）因为∠AOB＞90°，所以原点在以AB为直径的圆内，AB中点（

a

3-a2

，

3

3-a2

)
圆方程为(x-

a

3-a2

)2+(y-

3

3-a2

)2=(1+a2)

24-4a2

4(3-a2)2

…（7分）
∴(

a

3-a2

)2+(

3

3-a2

)2＞

24-4a2

4(3-a2)2

（1+a²）
即  4（a²+9）＞（24-4a²）（1+a²）            …（10分）
得  1＜a²＜3
所以a∈(-

3

，-1)∪(1，

3

)…（12分）

点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，关键是联立方程，利用方程思想求解．