Question

4．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）n-3，（n≤7）}\\{{a}^{n-6}，（n＞7）}\end{array}\right.$ 其中a＞0，a≠1，若该数列是递增数列，则实数a的取值范围是（2，3）．

Answer 1

分析 首先，根据数列{a_n}是递增数列，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．

解答 解：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）n-3，（n≤7）}\\{{a}^{n-6}，（n＞7）}\end{array}\right.$，数列是递增数列，
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故实数a的取值范围是（2，3）
故答案为：（2，3）

点评 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N^*时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且f（7）＜f（8），从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．